Question

已知x，y，z均为非负数，且满足x=y+z-1，x=4-y-2z，则u=2x²-2y-z的最大值为

 

；最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的最值

专题：

分析：把x当作常数表示出y、z，然后代入u得到关于x的二次函数，再根据x、y、z都是非负数列出不等式组求出x的取值范围，然后求出二次函数的对称轴并利用二次函数的增减性解答．

解答：解：联立

x=y+z-1 x=4-y-2z

，
解得

y=3x-2 z=3-2x

，
∵x，y，z均为非负数，
∴

3x-2≥0① 3-2x≥0②

，
解不等式①得，x≥

2

3

，
解不等式②得，x≤

3

2

，
∴

2

3

≤x≤

3

2

，
u=2x²-2y-z，
=2x²-2（3x-2）-（3-2x），
=2x²-4x+1，
=2（x-1）²-1，
∵a=2＞0，
∴当x=

3

2

时，有最大值为2（

3

2

-1）²-1=-

1

2

，
当x=1时有最小值为2（1-1）²-1=-1．
故答案为：-

1

2

；-1．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，用x表示出y、z从而得到关于x的二次函数是解题的关键，要注意x的取值范围的求解．