Question

【题目】如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，并将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE

（1）求证：∠ADB＝∠AEC；

（2）如图2，当点D为BC中点时，连接DE交AC于点F，直接写出长度等于CF的所有线段．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD、AE、DE

【解析】

（1）根据等边三角形性质可知AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，再结合旋转的性质利用SAS证明△BAD≌△CAE，最后即可证明结论；

（2）先证明△ADE是等边三角形，据此得出AD＝AE＝DE，然后利用等边三角形性质与直角三角形性质进一步得出答案即可.

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC；

（2）∵△ABC为等边三角形，点D为BC中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC，

∵AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE＝DE，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠BAD＝∠CAE＝30°，CD＝CE，∠ACD＝∠ABC＝∠ACE＝60°，

∵CD＝CE，AD＝AE，

∴AC⊥DE，且∠ACD＝60°，

∴DF＝CF，且AC⊥DE，∠DAC＝30°

∴AD＝2CF＝AE＝DE．