Question

【题目】如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）如图2：DE﹣BC=DF；图3：BC+DE=DF．

【解析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．构造全等三角形即可解决问题；

（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．

（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，

∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FED=∠HAE，

∵∠BHE=∠CDB=45°，

∴∠AHE=∠EDF=135°，

∴△AHE≌△EDF，

∴HE=DF，

∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．

∴BC﹣DE=DF．

（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．

可得：DE﹣BC=DF；

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，

可得BC+DE=DF．