Question

5．底边长为8的等腰三角形内接于⊙O中，已知⊙O的半径为5，求等腰三角形的腰长．

Answer 1

分析 ①当是锐角三角形时；②当该等腰三角形是钝角三角形时；由垂径定理可得出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．

解答 解：①当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示：
连接AO并延长交BC于点D，连接OB，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵BC=8，
∴BD=4，
在Rt△OBD中，
∵OB=5，BD=4，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AD=AO+OD=5+3=8，
在Rt△ABD中，
∵BD=4，AD=8，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
②当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示：
连接OA交BC于D，连接OB，
同理得：OD=3，
∴AD=OA-OD=2，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
综上所述，AB的长度是4$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理；根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，注意分类讨论．