Question

如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

       （1）证明：连结OB、OD，如图1，

∵D为BC的中点，

∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，

∵∠BMC=∠BOC，

∴∠BOD=∠M=60°，

∴∠OBD=30°，

∵△ABC为正三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠ABO=60°+30°=90°，

∴AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：BE+CF的值是为定值．

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，

∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DM=DN，∠MDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠MDE=∠NDF，

在△DME和△DNF中，

，

∴△DME≌△DNF，

∴ME=NF，

∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，

在Rt△DMB中，∵∠DBM=60°，

∴BM=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=OB+OC=BC，

∴BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．