题目内容

已知，如图1，在直角坐标系中，有等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，抛物线y=
3
6
(x-2)(x-6)交x轴于点E、C（点C在点E的右侧），交y轴于点A，它的对称轴过点D，顶点为点F；
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）点P是抛物线在第一象限内的点，它到边AB、BC所在直线的距离相等，求出点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是线段AD上的一个动点，AQ=t，以BQ为一边作∠BQR=120°，交CD于点R，连接ER、FC，试探究：是否存在t的值，使ER∥FC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）抛物线解析式中，令y=0，能求得点E、C的坐标；令x=0，能求得点A的坐标；若设抛物线对称轴与x轴的交点为G，根据E、C的坐标即可得到点G的坐标，结合点A的坐标可得到点D的坐标；根据等腰梯形的性质可知OB=CG，可据此求出点B的坐标．
（2）在Rt△ABO中，易求得∠ABO=60°，作∠ABO的角平分线，交y轴于点H，那么显然∠HBO=30°，OB长已知，通过解直角三角形不难得到点H的坐标，利用待定系数法可求出直线BH的解析式，联立直线BH和抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）易知∠BAD=∠ADC=120°，而∠BQR=120°，那么∠ABQ+∠BQA=∠DQR+∠BQA=180°-∠BQR=60°，根据这个条件不难判断出△BAQ和△QDR是相似的，由此得到的条件是 BA：QD=AQ：DR，在这个比例关系式中，AB的长易知，AQ、QD的长都可由t表示出来，关键是求出DR的长，那么就要从BR∥FC的条件入手；点F的坐标易得，首先根据点F、C的坐标判断出∠FCE=∠REC=30°，那么显然△ERC是一个含30°角的特殊直角三角形，EC的长已知，则RC的长可得，而DR=CD-RC，则条件备齐．
解答：解：（1）抛物线y=
3
6
（x-2）（x-6）中，令y=0，得 x1=2、x2=6；
令x=0，得：y=2
3
；
∴A（0，2
3
）、E（2，0）、C（6，0）；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，根据抛物线的对称性知G（4，0），则D（4，2
3
）；
在等腰梯形ABCD中，OB=CG=2，则 B（-2，0）．

（2）在Rt△ABO中，OA=2
3
，OB=2，那么 tan∠ABO=
OA
OB
=
2
3
2
=
3
，∠ABO=60°；
作直线BH，使得∠HBO=
1
2
∠ABO=30°，交y轴于点H，则H（0，
2
3
3
），
∴直线BH：y=
3
3
x+
2
3
3
；
由于点P到直线AB、BC的距离相等，所以点P在∠ABO的角平分线上，即点P为直线BH与抛物线的交点；
联立直线BH与抛物线的解析式，有：
y=
3
3
(x+2)
y=
3
6
(x-2)(x-6)
，解得
x1=5+
17
y1=
3
3
(7+
17
)
，
x2=5-
17
y2=
3
3
(7-
17
)

∴P点的坐标为（5+
17
，
7
3
+
51
3
）、（5-
17
，
7
3
-
51
3
）．

（3）由（1）的抛物线解析式可得：F（4，-
2
3
3
）；
在Rt△FCG中，FG=
2
3
3
，CG=2，所以tan∠FCG=
FG
CG
=
2
3
3
2
=
3
3
，即∠FCG=30°；
∵FC∥ER，∴∠REC=∠FCG=30°；
由（1）知，∠ABO=∠DCO=60°，∴∠ERC=90°；
在Rt△ERC中，EC=4，∠REC=30°，则 CR=
1
2
EC=2，DR=CD-CR=4-2=2；
∵∠BAQ=∠BQR=120°，
∴∠ABQ=∠DQR=60°-∠DQR，又∠BAQ=∠QDR，
∴△BAQ∽△QDR，则
BA
QD
=
AQ
DR

∴
4
4-t
=
t
2
，化简，得：t2-4t+8=0
△=（-4）2-4×8＜0，因此不存在符合条件的t值．
点评：此题是函数与几何的综合题，主要涉及了函数图象交点坐标的求法、抛物线的对称性、等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等等重要知识点，综合性较强．最后一题中，通过各角的度数判断出与题相关的相似三角形是解题的关键所在，也是此题的难点所在．
练习册系列答案
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