Question

两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的A、D两点在半圆O上，小正方形BEFG顶点F在半圆O上；B、E两点在半圆O的直径上，点G在大正方形边AB上，若小正方形的边长为4cm，求该圆的半径．

Answer 1

考点：勾股定理,圆的认识

专题：

分析：先根据正方形的性质得CD=AD，则利用勾股定理可证明OB=OC，设OB=x，则OE=x+4，AB=2x，再根据勾股定理，在Rt△AOB中有OA²=OB²+AB²=5x²，在Rt△OEF中有OF²=OE²+EF²=（x+4）²+4²，则（x+4）²+4²=5x²，然后解方程得到x=4，再利用OA=

5

x进行计算即可．

解答：解：连接OF，如图
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AD，
而OD=OA，OB=

OD2-CD2

，OA=

OA2-AB2

，
∴OB=OC，
设设OB=x，则OE=x+4，AB=2x，
在Rt△AOB中，OA²=OB²+AB²=x²+（2x）²=5x²，
在Rt△OEF中有OF²=OE²+EF²=（x+4）²+4²，
而OA=OF，
∴（x+4）²+4²=5x²，
整理得x²-4x-8=0，
解得x₁=4，x₂=-2（舍去），
∴OA=

5

x=4

5

，
即该圆的半径为4

5

．

点评：本题主要考查了勾股定理的应用、一元二次方程的应用及正方形的性质，难度中等，是一道比较典型的圆的计算题．解答的关键是利用数形结合思想，设出适当的未知数，借助方程知识进行解答．