Question

13．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED
（1）求证：ED∥AC；
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S₁，△ADC的面积为S₂，且S₁²-16S₂+4=0，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD是△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代换得到∠E=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；
（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠E=∠BAD，
∴∠E=∠DAC，
∵BE∥AD，
∴∠E=∠EDA，
∴∠EDA=∠DAC，
∴ED∥AC；

（2）解：∵BE∥AD，
∴∠EBD=∠ADC，
∵∠E=∠DAC，
∴△EBD∽△ADC，且相似比k=$\frac{BD}{DC}=2$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=k²=4，即s₁=4s₂，
∵${{s}_{1}}^{2}$-16S₂+4=0，
∴16${{S}_{2}}^{2}$-16S₂+4=0，
即${（{4S}_{2}-2）}^{2}$=0，
∴S₂=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{2}}$=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BD+CD}{CD}$=$\frac{3CD}{CD}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．