Question

如图所示，已知AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．

(1)求证四边形ADCE是等腰梯形；

(2)若△ADC的周长为16cm，AE=3cm，AC－EC=3cm，求四边形ADCE的周长．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵AB∥ED(已知)， ∴∠BAD=∠ADE(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠BAD=∠CAD(角平分线定义)， ∴∠CAD=∠ADE． ∴OA=OD(等角对等边)． ∵AC=DE(已知)， ∴AC－OA=ED－OD． 即OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE(等边对等角)． 又∵∠AOD=∠COE(对顶角相等)， ∴∠CAD=∠OCE． ∴AD∥CE(内错角相等，两直线平行)． 而AD≠CE， ∴四边形ADCE是梯形． 又∵∠CAD=∠ADE，AD=AD，AC=DE， ∴△ADE≌△DAC， ∴AE=DC(全等三角形的对应边相等)． ∴四边形ADCE是等腰梯形． 解：(2)∵四边形ADCE是等腰梯形， ∴AE=CD=3cm， ∴梯形ADCE的周长=AD＋EC＋AE＋DC=AD＋CE＋6，而△ADC的周长=AD＋DC＋AC=16， ∴AD＋AC=13． ∵AC－EC=3，∴AD＋AC－(AC－EC)=10． 即AD＋EC=10． ∴梯形ADCE的周长=10＋6=16(cm)．

提示：

(1)由角平分线和平行线可得到一些相等的角．如∠OAD=∠ODA．从而有OA=OD，再由AC=DE推出∠OCE=∠OEC，得出结论AD∥CE，因为AD≠CE，所以能证出四边形ADCE是梯形，再由已知条件容易证出△ADE≌△DAC，因此有AE=DC，所以可证出四边形ADCE是等腰梯形． (2)因为四边形ADCE是等腰梯形，所以由给出条件容易求出四边形ADCF的周长．