Question

【题目】已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.

（1）如图1，当时，求AF的长.

（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.

（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或.

【解析】

过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.

（1）如图，过点作于N，

∵AB=5，，

∴在中，=5×=3，

∴AN===4，

∵BC=x=4，

∴CN=BC-BN=4-3=1，

在中，，

∵AD=4，BC=x=4，

∴AD=BC，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵，

∴△ABC∽△ADF，

∴，

∴

解得：，

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△ABE，

∴，

∴，

∵AD//BC，

∴，

∴，

∵x>0，CE=>0，

∴0<x<5，

∴，

（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，

∵PA=PD，AD=4，

∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，

∵AD//BE，

∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，

∴∠DBE=∠AEB，

∴PB=PE，

∴BN=EN=BE=，

∵，AB=5，

∴BH=AB·cos∠ABH=3，

∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，

∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，

∴四边形AHNG是矩形，

∴HN=AG=2，

∴BN=BH+HN=3+2=5，

∴=5，

解得：x=.

②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，

∴∠ADB=∠APD，

∵AD//BM，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠APD=∠BPE，

∴∠DBC=∠BPE，

∴BE=PE=，

∵cos∠ABC=，AB=5，

∴BH=3，AH=4，

∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，

解得：x=，

③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，

∴∠DAP=∠DPA，

∵AD//BM，

∴∠DAP=∠AEB，

∵∠APD=∠BPE，

∴∠BPE=∠AEB，

∴BP=BE=，

∵cos∠ABC=，AB=5，

∴BH=3，AH=4，

∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，

∴四边形AHND是矩形，

∴DN=AH=4，HN=AD=4，

中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，

解得：x=，

综上所述：x的值为或或.