Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝，点P从点B出发，以每秒2个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造PBQF，设点P的运动时间为t（t＞0）．

（1）tan∠DBE＝　 　；

（2）求点F落在CD上时t的值；

（3）求PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；

（4）连接PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）t＝;（3）见解析;（4）t的值为或或或2．

【解析】

（1）如图1中，作DH⊥BE于H．解直角三角形求出BH，DH即可解决问题．

（2）如图2中，由PF∥CB，可得，由此构建方程即可解决问题．

（3）分三种情形：如图3-1中，当时，重叠部分是平行四边形PBQF．如图3-2中，当时，重叠部分是五边形PBQRT．如图3-3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PBCT，分别求解即可解决问题．
（4）分四种情形：如图4-1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．如图4-2中，当MN⊥BC时．如图4-3中，当MN⊥AB时．当点P与点D重合时，MN∥BC，分别求解即可．

解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．

在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝，

∴DH＝4，CH＝3，

∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，

∴tan∠DBE＝＝＝．

故答案为．

（2）如图2中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵BC＝5，tan∠CBM＝＝，

∴CM＝，BM＝DM＝2，

∵PF∥CB，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形PBQF，S＝PBPQ＝2tt＝10t2．

如图3﹣2中，当＜t≤1时，重叠部分是五边形PBQRT，S＝S平行四边形PBQF﹣S△TRF＝10t2﹣[2t﹣（5﹣5t）] [2t﹣（5﹣5t）]＝﹣55t2+（20+50）t﹣25．

如图3﹣3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝×5×4﹣（5﹣t）（4﹣2t）＝﹣t2+10t．

（4）如图4﹣1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．

∵PN∥MT，

∴＝，

∴＝，

∴MT＝，

∵MN∥AB，

∴＝＝＝2，

∴PB＝BM，

∴2t＝×2，

∴t＝．

如图4﹣2中，当MN⊥BC时，易知点F落在DH时，

∵PF∥BH，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

如图4﹣3中，当MN⊥AB时，易知∠PNM＝∠ABD，

可得tan∠PNM＝＝，

∴＝，

解得t＝，

当点P与点D重合时，MN∥BC，此时t＝2，

综上所述，满足条件的t的值为或或或2．