Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4$\sqrt{3}$．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，⊙C与直线AB相切．

Answer 1

分析 求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

解答 解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=4$\sqrt{3}$，AC=6，
∴由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
CH=3，
分为两种情况：①如图1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=$\frac{3}{2}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{6}$，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②如图2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{4.5}{6}$，
DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查了三角形的中位线，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．