题目内容
【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN=；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究S△ACN ， S△APB ， S△MBH的数量关系．
S△ACN=；S△MBH=；S△APB=；
S△ACN ， S△APB ， S△MBH的数量关系是 ． 
【答案】
（1）
或 
（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
∴EC2=DE2+DB2，
∴4NG2=4MN2+4FM2，
∴NG2=MN2+FM2，
∴点M，N是线段FG的勾股分割点
（3）
?AM2+ MN?AM, ?BN2+ ?MN?BN,
MN2+ ?MN?AM+ ?MN?BN,S△APB=S△ACN+S△MBH
【解析】解：（1）分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= 
= 
= ；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN= 
= 
= ；
综上所述：BN的长为 或 ．
⑶∵四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，
∴S△ACN= （AM+MN）AC= （AM+MN）AM= AM2+ MNAM，
S△MBH= （MN+BN）BH= （MN+BN）BN= BN2+ MNBN，
S△PAB= （AM+NM+BN）FN= （AM+MN+BN）MN= 
MN2+ MNAM+ MNBN，
∴S△APB=S△ACN+S△MBH，
所以答案是S△APB=S△ACN+S△MBH．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的性质，需要了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能得出正确答案．
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