Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=

3

：2，求⊙O的半径及DF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分）
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD．                       （3分）
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．                       （4分）

（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．                         （5分）
∵BD：AB=

3

：2，
∴在Rt△ADB中cosB=

BD

AB

=

3

2

，
∴∠B=30°．                          （6分）
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．                          （7分）
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=

10

3

3

，
即⊙O的半径为

10

3

3

．                 （8分）
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．                    （9分）
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=

1

2

DF．
∴DF=2DE=10．                        （10分）