题目内容
【题目】◆探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1、图2，弹弓的两边可看成是平行的，即
．各活动小组探索
与
，
之间的数量关系．已知，点
不在直线
和直线
上．在图1中，智慧小组发现：
；
智慧小组是这样思考的：过点作
，……
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．
◆类比思考：①在图2中，与，之间的数量关系为________．
②如图3，已知，则角
、
、
之间的数量关系为________．
◆解决问题：善思小组提出：如图4，图5．，
，
分别平分
，
．
①在图4中，
与之间的关系为________．
②在图5中，与之间的关系为________．
【答案】探索发现：见解析；类比思考：①
；②
；解决问题：①
；②
．
【解析】
探索：发现由平行线的性质得出∠APQ=∠A，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠C，推出∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，即可得出结论；
类比思考①过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APQ=∠PAM，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠PCN，则∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=360°，即可得出结果；
②过点M作MQ∥AB，由平行线的性质得出α+∠QMA=180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得出∠QMD=γ，即可得出结果；
解决问题①过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，由平行线的性质得出∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即∠AFM=
∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即∠CFM=∠DCP，推出∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=（∠BAP+∠DCP），即可得出结果；
②过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即2∠AFQ=∠BAP，由PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，推出PH∥CD，FQ∥CD，得出∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即2∠CFQ=∠DCP，由∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，得出2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，即可得出结果．
探索发现：
∴
∵
、
∴
∴
∴
即
类比思考：①∠APC+∠A+∠C=360°；理由如下：
过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示：
∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ=∠PCN，
∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°；
②α+β-γ=180°；理由如下：
过点M作MQ∥AB，如图3所示：
∴α+∠QMA=180°，
∵MQ∥AB，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠QMD=γ，
∵∠QMA+∠QMD=β，
∴α+β-γ=180°，
故答案为：α+β-γ=180°；
解决问题：①∠AFC=∠APC；理由如下：
过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图4所示：
∴∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴∠AFM=∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠CFM=∠DCP，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC=∠APC，
故答案为：∠AFC=∠APC；
②∠AFC=180°-∠APC；理由如下：
过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图5所示：
∴∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴2∠AFQ=∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴2∠CFQ=∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，
∴2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH=360°，
即2∠AFC+∠APC=360°，
∴∠AFC=180°-∠APC，
故答案为：∠AFC=180°-∠APC．
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【题目】某校开展了“让世界充满爱”的捐款助学活动，其中八(2)班全体同学的捐款情况如下表：
捐款金额(元) | 5 | 10 | 15 | 20 | 50 |
捐款人数(人) | 7 | 18 | 12 | 3 |
由于填表的同学不小心把墨水滴在了表上，致使表中数据不完整，但知道捐款金额为10元的人数为全班人数的36%，结合上表回答下列问题：
(1)八(2)班共有多少人？
(2)学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元？
(3)如果把该班学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为20元的人数所对应的扇形圆心角为多少度？
