Question

6．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、EH、BD分别与EF、HG相交于点M、N，AC分别与EH、FG相交于点P、Q．

（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）如图2，连接FH，若FH经过点O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积相等的矩形．

Answer 1

分析 （1）证明EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD，EF∥AC∥GH，证出四边形EFGH是平行四边形，由AC⊥BD，得出EF⊥EH，∠FEH=90°，即可得出结论；
（2）由（1）得出四边形EFGH是平行四边形，同理：四边形EFKS、四边形SKGH、四边形EMOS，…都是矩形，得出△EFH的面积=△GFH的面积，△OMN的面积=△OFK的面积，△OHS的面积=△OHN的面积，因此矩形EMOS的面积=矩形OKGN的面积，得出矩形EFKS的面积=矩形MFGNH的面积，矩形EMNH的面积=矩形GHSK的面积．

解答 （1）证明：∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD，
同理：EF∥AC∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：如图所示：
由（1）得：四边形EFGH是平行四边形，
同理：四边形EFKS、四边形SKGH、四边形EMOS，…都是矩形，
∴图中共有9个矩形，△EFH的面积=△GFH的面积，△OMN的面积=△OFK的面积，△OHS的面积=△OHN的面积，
∴矩形EMOS的面积=矩形OKGN的面积，
∴矩形EFKS的面积=矩形MFGNH的面积，矩形EMNH的面积=矩形GHSK的面积．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；由三角形中位线定理证出四边形EFGH是平行四边形是解决问题的突破口．