Question

18．如图，已知A、B两村分别距公路l的距离AA′=10km，BB′=40km，且A′B′=50km．在公路l上建一中转站P使AP+BP的值最小，则AP+BP的最小值为（　　）

• A． 100km
• B． 80km
• C． 60km
• D． 50$\sqrt{2}$km

Answer 1

分析 作A关于直线A′B′的对称点C，连接BC，延长BB′，根据两点之间线段最短可知AP+BP的最小值即为BC的长，过C作BB′的垂线交直线BB′于D，根据对称的性质可求出A′C的长，由矩形的判定定理可判断出四边形A′CDB′是矩形，在Rt△BCD中由勾股定理即可求解．

解答 解：作A关于直线A′B′的对称点C，连接BC，延长BB′，
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP的最小值即为BC的长，
过C作BB′的垂线交直线BB′于D，
∵A、C关于直线A′B′对称，AA′=10km，
∴A′C=10km，
∵AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，
∴A′C∥B′D，
∵BB′⊥A′B′，CD⊥BB′，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′CDB′是矩形，
∴A′B′=CD=50km，BD=BB′+B′D=40+10=50km，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}+5{0}^{2}}$=50$\sqrt{2}$km．
故选：D．

点评 本题考查的是最短路线问题、矩形的判定定理及勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．