Question

1．如图，已知直线l₁∥l₂，直线AB与l₁，l₂分别交于点A，B，直线EF与l₁，l₂分别交于点C，D，P是直线EF上的任意一点（不与点C，D重合）．
（1）若∠PAC=62°，∠PBD=31°，则∠APB=93°或31°．
（2）探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，可以得到的结论是∠APB=∠PAC+∠PBD或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠PBD=∠PAC+∠APB．

Answer 1

分析 （1）分三种情况讨论：点P在CD之间时，点P在CD的延长线上，点P在DC延长线上，分别过P作PG∥AC，根据平行线的性质进行计算即可得到∠APB的度数；
（2）分三种情况讨论：点P在CD之间时，点P在CD的延长线上，点P在DC延长线上，分别过P作PG∥AC，根据平行线的性质进行推导，即可得到∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系．

解答 解：（1）当点P在CD之间时，过P作PG∥AC，则PG∥BD，

∴∠APG=∠PAC=62°，∠BPG=∠PBD=31°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=62°+31°=93°，
当点P在CD的延长线上时，过P作PG∥AC，则PG∥BD，

∴∠APG=∠PAC=62°，∠BPG=∠PBD=31°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=62°-31°=31°；
当点P在DC延长线上时，不合题意；
综上所述，∠APB=93°或31°，
故答案为：93°或31°；

（2）如图，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：过点P作PG∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
如图，当点P在CD延长线上时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：过点P作PG∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₂∥l₁，
∴∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD，
∵∠APG=∠BPG+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如图，当点P在DC延长线上时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：过点P作PG∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₂∥l₁，
∴∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD，
∵∠BPG=∠APG+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
故答案为：∠APB=∠PAC+∠PBD或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠PBD=∠PAC+∠APB．

点评 本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，解题时注意辅助线的作法．