题目内容

3．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx-$\frac{3}{2}$的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）b=1；点D的坐标：（-3，4）；
（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；
（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用点在二次函数图象上，代入即可求得b，将二次函数换成交点式，即能得出B点的坐标，由AD=AB可算出D点坐标；
（2）假设存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一个关于OP长度的一元二次方程，由方程无解可得知不存在这样的点；
（3）利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面积即是所求．

解答 解：（1）∵点A（-3，0）在二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx-$\frac{3}{2}$的图象上，
∴0=$\frac{9}{2}$-3b-$\frac{3}{2}$，解得b=1，
∴二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x2+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+3）（x-1），
∴点B（1，0），AB=1-（-3）=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，
∴点D（-3，4），
故答案为：1；（-3，4）．
（2）直线PE交y轴于点E，如图1，

假设存在点P，使得OE的长为1，设OP=a，则AP=3-a，
∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，
∴∠EPO=90°-∠APD=∠ADP，
tan∠ADP=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3-a}{4}$，tan∠EPO=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{3-a}{4}$=$\frac{1}{a}$，即a2-3a+4=0，
△=（-3）2-4×4=-7，无解
故线段AO上不存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1．
（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，

∵△PED是等腰三角形，
∴DP=PE，
∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形
∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，
在△PEO和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPO=∠PDA}\\{DP=PE}\\{∠PEO=∠DPA}\end{array}\right.$，
∴△PEO≌△DAP，
∴PO=DA=4，OE=AP=PO-AO=4-3=1，
∴点P坐标为（-4，0）．
∵DA⊥x轴，
∴DA∥EO，
∴∠ADM=∠OEM（两直线平行，内错角相等），
又∵∠AMD=∠OME（对顶角），
∴△DAM∽EOM，
∴$\frac{OM}{MA}$=$\frac{OE}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∵OM+MA=OA=3，
∴MA=$\frac{4}{1+4}$×3=$\frac{12}{5}$，
△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为$\frac{1}{2}$×AD×AM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
答：存在这样的点P，点P的坐标为（-4，1），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的交点式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知识，解题的关键是注重数形结合，找准等量关系．

练习册系列答案
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