Question

2．如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是$\widehat{BE}$的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，BF=15，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由点C是$\widehat{BE}$的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直径可得出AD⊥BE，进而可得出AD∥OC，再根据AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．
（2）过点O作OM⊥AC于点M，由点C是$\widehat{BE}$的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD=$\frac{4}{5}$可求出AB的长度，在Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示．
∵点C是$\widehat{BE}$的中点，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．
∵点C是$\widehat{BE}$的中点，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，∠BAC=∠CAE，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{BF}{AB}$．
∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{4}{3}$BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=$\frac{1}{2}$AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，
∴AM=AO•cos∠OAM=8，
∴AC=2AM=16．

点评 本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出OC⊥CD；（2）根据角平分线的性质求出AB的长度．