Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且∠B=∠DEF（足够大）与△ABC重叠在一起，即∠B与∠DEF重合，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当BE为何值时，AE=EM？
（3）当BE为何值时，AM=EM？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，求出∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）求出CE=AB，根据全等三角形的判定推出三角形ABE和三角形ECM全等，即可得出答案；
（3）求出

AC

BC

=

CE

AC

，证三角形CAE和三角形CBA相似，推出∠AEC=∠CAB，即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEF=∠B，
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠CEM，
∴∠BAE=∠CEM，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：当BE=2时，AE=EM，
理由是：∵BC=8，BE=2，
∴CE=6=AB，
在△ABE和△ECM中

∠B=∠C AB=CE ∠BAE=∠CEM

∴△ABE≌△ECM，
∴AE=EM；

（3）解：当BE=3.5时，AM=EM，
理由是：∵BC=8，BE=3.5，
∴CE=4.5，
∵AC=6，CB=8，
∴

AC

BC

=

CE

AC

，
∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴∠AEC=∠BAC，
∵∠BAE=∠CEM，
∴∠CEA-∠CEM=∠CAB-∠BAE，
∴∠CAE=∠AEM，
∴AM=EM．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的应用，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键．