Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：压轴题,分类讨论

分析：根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．

解答：解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB=

3

cos30°

=

3

3 2

=2

3

；
如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4

3

．
故答案为：6或2

3

或4

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．