题目内容

6．如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，则：①AD=CD，②$\sqrt{3}$BD=AB+CB，③点O是∠ADC平分线上的点，④AB2+BC2=2CD2，上述结论中正确的个数为（　　）
A．4个B．3个C．2个D．1个

分析 根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=45°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，然后根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，判断出①正确；连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得点O在AC上，根据等腰三角形三线合一的性质可得点O是∠ADC平分线上的点，判断出③正确；再利用勾股定理求出AB2+BC2=2CD2，判断出④正确；点B的位置确定，②$\sqrt{3}$BD=AB+CB无法求出．

解答 解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴AD=CD，故①正确；
连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴点O在AC上，AC为⊙O的直径，
又∵AD=CD，
∴点O是∠ADC平分线上的点，故③正确；
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=2CD2，
∴AB2+BC2=2CD2，故④正确；
∵点B的位置不确定，
通过旋转△DAB，证明$\sqrt{2}$BD=AB+CB．
∴$\sqrt{3}$BD=AB+CB无法求出，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选B．

点评 本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．

练习册系列答案
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②若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，┉，△OAnBn，△OA6B6的周长$\frac{81}{64}$a．
③△OAnBn的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2na2．
（2）等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=120°，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等腰△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．OA1=OB1，∠A1OB1=120°，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，┉，△OAnBn，
①OA2=$\frac{1}{4}$a．
②△OA6B6的周长=$\frac{2+\sqrt{3}}{64}$a．
③△OAnBn的面积=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$）2n+1a2．
（3）等腰△OAB中，OA=OB=a，∠AOB=α，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等腰△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2，OA1=OB1，∠A1OB1=α，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，┉，△OAnBn，
①OA2=（cos$\frac{α}{2}$）2a．
②△OA6B6的周长2（cos$\frac{α}{2}$）6a+2（sin$\frac{α}{2}$）6a．
③△OAnBn的面积（sin$\frac{α}{2}$）n•（cos$\frac{α}{2}$）n+1a2．
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