Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？

武昌部分学校九年级联考

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；

∴，

解得；

∴抛物线的解析式为：；（3分）

（2）易知抛物线的对称轴是x=4，

把x=4代入y=2x，得y=8，

∴点D的坐标为（4，8）；

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；（1分）

连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，

∴∠MDF=60°，

∴∠EDF=120°；（2分）

∴劣弧EF的长为：；（1分）

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；

∵直线AC经过点，

∴，

解得；

∴直线AC的解析式为：；（1分）

设点，PG交直线AC于N，

则点N坐标为，

∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；

∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；

即=；

解得：m₁=﹣3，m₂=2（舍去）；

当m=﹣3时，=；

∴此时点P的坐标为；（2分）

②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；

即=；

解得：m₁=﹣12，m₂=2（舍去）；

当m=﹣12时，=；

∴此时点P的坐标为；

综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．（2分）