Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer 1

（1）连接OC．                          

∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，

∴∠1＝∠2．                           

∵OA=OC，

∴∠2＝∠3．                                      

∴∠1＝∠3．

∴OC∥AE．

∴OC⊥CD．

∴DE是⊙O的切线．                     

（2）∵AB=6，

∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，

∴∠D＝30°，∠COD＝60°．          

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，

∴AE＝AD=．

在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形．

∴BC=OB=3．