Question

如图，点B₁是边长为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边．构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，…
（1）求OB₁的长；
（2）直接写S_△OA1B1及S_△OA2B2的值（不要求写过程）；
（3）当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止，则构造出的最后一个三角形的面积是

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：规律型

分析：（1）根据题意求出OC=

1

2

OA=

1

2

，即可得出OB₁=

OC

cos30°

=

3

3

；
（2）根据等边三角形的面积求出S△OA1B1=

3

12

；再求出OB₂=

1

3

，即可求出S△OA2B2=

3

4

OB22；
（3）由（1）（2）得出规律，得出S△OA10B10=(

1

3

)10S_△ABC．

解答：解：（1）∵B₁是边长为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B₁是△OBA的重心，也是内心，也是外心，
∴∠B₁OB₂=30°，OC=

1

2

OA=

1

2

，
∴OB₁=

OC

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

；
（2）S△OA1B1=

3

4

OB12=

3

12

；
∵OB₂=

1 2 OB1

cos30°

=

1

3

，
∴S△OA2B2=

3

4

OB22=

3

4

×

1

9

=

3

36

；

（3）∵点B₁是边长为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B₁是△OBA的重心，也是内心，
∴∠BOB₁=30°，
∵△OB₁A₁是等边三角形，
∴∠A₁OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OB_i 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀，
∵S△OA1B1=

1

3

S_△ABC，S△OA2B2=

1

3

S△OA1B1=(

1

3

)2S_△ABC，…，
∴S△OA10B10=(

1

3

)10S_△ABC=

3

4×310

；
故答案为：

3

4×310

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．特别是第（3）问中，根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB₁A₁与△OBA的面积比为

1

3

，进而总结出规律是解题的关键．