Question

8．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE．
（2）求∠QBC的度数？
（3）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=13，若BC=24时，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，从而得到∠ACD=∠BCE，依据SAS可证明△ACD≌△BCE；
（2）由角平分线的定义可知：∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，由全等三角形的性质可知∠CBE=∠CAD=30°，故此∠QBC=30°；
（3）在△BCH中根据30°所对的直角边是斜边的一半可知HC=12，由等腰三角形三线合一的性质可知PH=HQ，然后在Rt△PCH中由勾股定理可求得PH=5，从而得到PQ=10．

解答 （1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）∵△ABC为等边三角形且AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°．
∴∠QBC=30°．
（3）过点C作CH⊥BQ于H．

∵∠QBC=30°，∠CHB=90°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×24=12．
∵PC=CQ=13，CH⊥PQ，
∴PH=QH．
∵在Rt△PCH中，PH=$\sqrt{P{C}^{2}-H{C}^{2}}$=5．
∴PH=QH=5．
∴PQ=10．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰三角形的性质、含30°直角三角形的性质，证得∠QBC=30°是解题的关键．