Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l₁经过点A（-2，0）和点B（0，），直线l₂的函数表达式为，l₁与l₂相交于点P，⊙C是一个动圆，圆心C在直线l₁上运动，设圆心C的横坐标是a，过点C作CM⊥x轴，垂足是点M。

（1）填空：直线l₁的函数表达式是____，交点P的坐标是____，∠FPB的度数是____；
（2）当⊙C和直线l₂相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R=时a的值；
（3）当⊙C和直线l₂不相离时，已知⊙C的半径R=，记四边形NMOB的面积为S（其中点N是直线CM与l₂的交点），S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）；；60°； （2）设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD， 过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC）， 所以PG=CD=R， 当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证， 取R=-2时，a=1+R=-1，或a=-（R-1）=3-； （3）当⊙C和直线l2不相离时，由（2）知，分两种情况讨论： ①如图乙，当0≤a≤时， ， 当a=时，（满足a≤），S有最大值，此时 ； ②当≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即时，S最大，此时 综合以上①和②，当a=3或时，存在S的最大值，其最大面积为。