Question

已知关于x的一元二次方程mx（x-3）=2（x-m）-2（m＞0）．
（1）判断方程实数根的情况；
（2）当两个实数根分别为x₁、x₂（x₂＞x₁），设y=x₂-2x₁，利用图象求y的值．当y≥2m时，m的取值范围是多少，用几何语言表示．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：（1）本题的突破口在于利用△．化简得出（m+2）²＞0得出△＞0．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x₂-2x₁求出关于m的解析式．

解答：解：（1）关于x的一元二次方程mx（x-3）=2（x-m）-2（m＞0），
整理得，mx²-（3m+2）x+2m+2=0是，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²．
∵当m＞0时，（m+2）²＞0，即△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）由求根公式，得x=

3m+2±(m+2)

2m

∴

2m+2

m

或x=1．
∵m＞0，
∴

2m+2

m

=

2(m+1)

m

＞1．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x₂=

2m+2

m

．
∴y=x₂-2x₁=

2m+2

m

-2×1=

2

m

．
即y=

2

m

（m＞0）为所求．

（3）在同一平面直角坐标系中分别画出y=

2

m

（m＞0）与y=2m（m＞0）的图象．

由图象可得，当0＜m≤1时，y≥2m．

点评：本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、反比例函数，用函数的观点看不等式等知识．