Question

13．已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；
（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD=$\frac{1}{2}$AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，进而可得出结论．

解答 （1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵AB∥CF，
∴∠BAF=∠AFC．
在△ADE与△FCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠AFC}\\{∠AED=∠FEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4．
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=8，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB．
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°，
∴∠DAC=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BDC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．