Question

1．如图，已知AB为⊙O直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，作AD⊥CE，交EC延长线于D，交⊙O于点F，设∠ABC=α（0°＜α＜90°）．
（1）求∠DAC（用含α的代数式表示）；
（2）若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，AD=8，求AB的长；
（3）若α=60°，AB=10，求$\widehat{CF}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，求出AD∥OC，根据平行线的性质求出∠DAC=∠CAB，即可求出答案；
（2）解直角三角形求出AC，解直角三角形求出AB即可；
（3）连接OF，求出∠FOC，根据弧长公式求出即可．

解答 解：（1）连接OC，

∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-α，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO=90°-α；

（2）∵在Rt△ADC中，cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，AD=8，
∴AC=$\frac{AD}{cos∠CAD}$=10，
∵由（1）得：∠DAC=∠CAB，
∴cos∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴AB=$\frac{AC}{cos∠CAB}$=$\frac{25}{2}$；

（3）连接OF，

∵∠DAC=90°-α=90°-60°=30°，∠DAC与∠FOC对同弧，
∴∠FOC=2∠DAC=60°，
∴$\widehat{CF}$的长=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．