Question

4．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与AB、BC都相切，且圆心O在AC边上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，设⊙O与AB的切点为D，⊙O的半径为3，且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质作出∠ABC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出，O点位置，进而得出答案．
（2）先设AD=2x，BD=3x，则BC=3x，AB=5x，根据勾股定理得出AC=4x，再根据勾股定理得到Rt△AOD中，（2x）²+3²=（4x-3）²，解得x=2，进而得出AB的长．

解答 解：（1）作∠BAC的角平分线AP，交AC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，则⊙O即是所求图形．

（2）设AD=2x，BD=3x，则BC=3x，AB=5x，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4x，
∵DO=CO=3，
∴AO=4x-3，
∴Rt△AOD中，AD²+DO²=AO²，即（2x）²+3²=（4x-3）²，
解得x=2，
∴AB=2×5=10．

点评 本题主要考查了复杂作图，切线的性质以及勾股定理的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．