Question

9．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：CB²=AB•DB；
（2）若⊙O的半径为2，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB，
∴$\frac{CB}{DB}=\frac{AB}{CB}，即C{B^2}$=AB•DB；

（2）解：∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴S_△OCB=$\sqrt{3}$，S_扇形OCB=$\frac{{60π{r^2}}}{360}=\frac{2}{3}$π，
∴阴影部分的面积=S_扇形OCB-S_△OCB=$\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及扇形面积、三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．