题目内容

先观察下列等式，再回答问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果，并进行验证；
（2）根据上面的规律，可得
1+
1
92
+
1
102
=
 
．
（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
分析：由题意：
(1)
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
(2)
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
(3)
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

（1）将
1+
1
32
+
1
42
中的3用4代替，4用5代替
（2）将
1+
1
32
+
1
42
中的3用9代替，4用10代替
（3）根据（1）、（2）总解规律，其中3用n，4用（n+1）代替．
解答：解：（1）
1+
1
42
+
1
52
=1+
1
4
-
1
4+1
=1
1
20

验证：
1+
1
42
+
1
52
=
1+
1
16
+
1
25
= 
441
16×25
= 
21
20
 =1
1
20

（2）
1+
1
92
+
1
102
=1+
1
9
-
1
10
=1
1
90

（3）
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n2+n

验证：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2

=
n2(n+1)2+n2+2n+1+n2
n2(n+1)2

=
n2(n+1)2 +2n(n+1)+1
n2(n+1)2

=
(n2+n+1)2
n2(n+1)2

=
n2+n+1
n(n+1)

=
n2+n
n2+n
+
1
n2+n

=1+
1
n2+n
点评：本题属于探索规律型，主要考查学生的观察及学习能力，并根据观察总结规律的能力．这种类型的题目，能够考察到学生的实际水平，因而同学们一定要足够的重视．
练习册系列答案
相关题目
先观察下列等式，再回答下列问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
先观察下列等式，再回答下列问题①
1 +
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
2
=1
1
2
；②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
3
=1
1
6
；③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
4
=1
1
12
，请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
1 +
1
92
+
1
102
的结果为
 
．
先观察下列等式，再完成题后问题：
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5

（1）请你猜想：
1
2010×2011
=
 
．
（2）若a、b为有理数，且|a-1|+（ab-2）2=0，求：
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2009)(b+2009)
的值．
先观察下列等式，再回答问题
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想
1+
1
92
+
1
102
=
1
1
90
1
1
90
．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
先观察下列等式，再回答问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2

②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6

③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

根据上面三个等式提供的信息，请猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果．

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