Question

4．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：
①AE=BF；
②△DEF是等边三角形；
③△BEF是等腰三角形；
④当AD=4时，△DEF的面积的最小值为$3\sqrt{3}$．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后由DE⊥AB时求出DE的长，即可求出△DEF的面积．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴②正确；
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
∵△DEF是等边三角形，边长最短时，面积最小，
∴当DE⊥AB时，DE最短，此时E为AB的中点，BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴④正确；
正确的结论有3个，故选：C．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．