Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²-1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足（x₁-x₂）²=16-x₁x₂，求实数m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：判别式法

分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x₁+x₂=-2（m+1），x₁x₂=m²-1；代入（x₁-x₂）²=16-x₁x₂，建立关于m的方程，据此即可求得m的值．

解答：解：（1）由题意有△=[2（m+1）]²-4（m²-1）≥0，
整理得8m+8≥0，
解得m≥-1，
∴实数m的取值范围是m≥-1；

（2）由两根关系，得x₁+x₂=-（2m+1），x₁•x₂=m²-1，
（x₁-x₂）²=16-x₁x₂
（x₁+x₂）²-3x₁x₂-16=0，
∴[-2（m+1）]²-3（m²-1）-16=0，
∴m²+8m-9=0，
解得m=-9或m=1
∵m≥-1
∴m=1．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．