Question

15．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x-1与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点C，过点A作AD⊥0A，交反比例函数的图象于点D，连结CD．
（1）若已知AB=AC，求反比例函数的表达式；
（2）若已知CD=AC，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x轴于E，根据直线的解析式求出点A、B的坐标，得到OA、OB的长，证明△ACE≌△AOB，确定点C的坐标求出反比例函数的表达式；
（2）作CF⊥AD于F，根据等腰山脚下的性质和已知得到点C的坐标，求出△ACD的面积．

解答 解：（1）作CE⊥x轴于E，
直线y=-$\frac{1}{2}$x-1与x轴、y轴分别交于点A（-2，0）、B（0，-1），
在△ACE和△AOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BAO}\\{∠CEA=∠BOA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AOB，
∴CE=OB=1，AE=OA=2，
∴C（-4，1）
∴反比例函数的表达式为：y=-$\frac{4}{x}$；
（2）作CF⊥AD于F，
∵CD=AC，∴点F为AD的中点，
∴D（-2，-$\frac{k}{2}$），F（-2，-$\frac{k}{4}$），
∴C（$\frac{k}{2}$-2，-$\frac{k}{4}$），
则（$\frac{k}{2}$-2）×（-$\frac{k}{4}$）=k，
解得，k=-4，
∴△ACD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×CF=2．

点评 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，能够求出直线与坐标轴的交点和直线与双曲线的交点是解题的关键，注意数形结合思想的运用．