Question

5．先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$的解为x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；方程x+$\frac{1}{x}$=3+$\frac{1}{3}$的解为x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；方程x+$\frac{1}{x}$=4+$\frac{1}{4}$的解为x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；…
（1）观察猜想：关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=n+$\frac{1}{n}$的解是x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$；
（2）实践运用：对于关于x的方程x-$\frac{1}{x}$=m-$\frac{1}{m}$的解，小明观察得“x=m”是该方程的一个解，请你猜想该方程的另一个解，并用方程的解的概念对该解进行验证；
（3）拓展延伸：请利用上面的规律，求关于x的方程x+$\frac{1}{x-3}$=a+$\frac{1}{a-3}$的解．

Answer 1

分析 根据例题可以得到：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，据此即可求解．

解答 解：（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程$x+\frac{1}{x}$=$n+\frac{1}{n}$的解是 x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$；
故答案为：x₁=n，x₂=$\frac{1}{n}$．
（2）类似的，关于x的方程x-$\frac{1}{x}$=m-$\frac{1}{m}$的解是 x₁=m，x₂=-$\frac{1}{m}$；
（3）x+$\frac{1}{x-3}$=a+$\frac{1}{a-3}$，
可得：x-3+$\frac{1}{x-3}$=a-3+$\frac{1}{a-3}$，
可得：x₁=a，x₂=$\frac{1}{a-3}$+3=$\frac{3a-8}{a-3}$．

点评 本题考查分式方程的解，正确理解例题，发现方程与解之间的关系：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，是解题的关键．