Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+b与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把E点坐标代入求出a即可；
（2）先把A点坐标代入y=x+b求出b得到直线AD的解析式为y=x+1，再求出F点坐标，接着解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把E（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）把A（-1，0）代入y=x+b得-1+b=0，解得b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
当x=0时，y=x+1=1，则F（0，1），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，则D（4，5），
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），通过解方程ax²+bx+c=0可得到抛物线与x轴的交点的横坐标．解决（2）小题的关键是确定D点坐标．