Question

3．已知：如图，在⊙O中，弦AB=$\sqrt{3}$OA，C是$\widehat{AB}$的中点，连接OB，AC和BC，求证：四边形OACB是菱形．

Answer 1

分析 由C为弧AB的中点，OC为半径，利用垂径定理的逆定理得到PA=PB，OC垂直于AB，由AP为AB的一半，根据题中条件用AO表示出AP，在直角三角形AOP中，利用勾股定理表示出OP，进而确定出OP=PC，即四边形ACBO对角线互相平分，可得出此四边形为平行四边形，再由对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证．

解答 证明：∵C为$\widehat{AB}$=的中点，OC为半径，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO，
∴OP=$\sqrt{A{O}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{A{O}^{2}-\frac{3}{4}A{O}^{2}}$=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC，
∴PC=$\frac{1}{2}$OC，即OP=PC，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵AB⊥OC，
∴四边形OACB是菱形．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，菱形的判定，以及平行四边形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．