Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF

（1）求证：①AO＝AG，②BF是⊙O的切线．

（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S阴影＝．

【解析】

（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；

②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；

（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3，即可得出结论．

解：（1）证明：①如图1，连接OE，

∵⊙O与BC相切于点E，

∴∠OEB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠OEB，

∴AC∥OE，

∴∠GOE＝∠AGO，

∵＝，

∴∠AOG＝∠GOE，

∴∠AOG＝∠AGO，

∴AO＝AG；

②由①知，AO＝AG，

∵AO＝OG，

∴∠AO＝OG＝AG，

∴△AOG是等边三角形，

∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，

∴∠BOF＝∠AOG＝60°，

由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，

∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠FOB＝∠EOB，

∵OF＝OE，OB＝OB，

∴△OFB≌△OEB（SAS），

∴∠OFB＝∠OEB＝90°，

∴OF⊥BF，

∵OF是⊙O的半径，

∴BF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接GE，

∵∠A＝60°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，

∴OB＝2BE，

设⊙O的半径为r，

∵OB＝OD+BD，

∴6+r＝2r，

∴r＝6，

∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，

∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，

由（1）知，∠EOB＝60°，

∵OG＝OE，

∴△OGE是等边三角形，

∴GE＝OE＝6，

根据勾股定理得，CE＝，

∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×．