Question

19．（1）已知抛物线y=mx²+（3m-1）x-3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定抛物线的解析式；
（2）若点P（x₁，k）与Q（x₁+n，k）都在（1）中的抛物线上（点P，Q不重合），将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）y=0，结合与x轴交于两个不同的整数点即可求出m的值；
（2）由题意判断PQ与x轴平行，结合翻折的性质进行分析即可求解．

解答 解：（1）抛物线y=mx²+（3m-1）x-3，令y=0，
mx²+（3m-1）x-3=0，
${x}^{2}+（3-\frac{1}{m}）x+3×（-\frac{1}{m}）=0$，
解得x₁=-3，x₂=$\frac{1}{m}$，
由m为正整数，可知m=1，
所以抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；
（2）y=x²+2x-3的顶点坐标为：（-1，-4），
由P（x₁，k）与Q（x₁+n，k）可知：直线PQ与x轴平行，
由翻折的性质可以得出：当-4≤k＜-2，或k=0时，新图象与x轴恰好只有两个公共点．

点评 此题主要考查抛物线与x轴的交点问题，会运用一元二次方程的根解决抛物线与x轴交点问题，熟悉翻折性质并灵活运用解题是此题的关键．