Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）设正比例函数的解析式为，

因为的图象过点，所以

，解得．

这个正比例函数的解析式为．

设反比例函数的解析式为．

因为的图象过点，所以

，解得．

这个反比例函数的解析式为．

（2）因为点在的图象上，所以

，则点．

设一次函数解析式为．

因为的图象是由平移得到的，

所以，即．

又因为的图象过点，所以

，解得，

一次函数的解析式为．

（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．

设二次函数的解析式为．

因为的图象过点、、和，

所以 解得

这个二次函数的解析式为．

（4）交轴于点，点的坐标是，

 

如图所示，

．

假设存在点，使．

四边形的顶点只能在轴上方，，

 

．

，．

在二次函数的图象上，

．

解得或．

当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，

点的坐标为．