Question

（本题满分12分） 已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=2，DA=DC=，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立；理由详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）应用相似三角形的判定方法证得△ADE∽△DCF，应用相似三角形的性质得到比例式；

（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，可以证得△ADE∽△DCM，得到比例式；

（3）过点C作CH⊥AD于H，可证△ADE∽△HCF，可以证得．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，

∴．

（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立.

证明如下： 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，

∵∠B+∠EGC＝180°，

∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴，即．

（3）过点C作CH⊥AD于H，可证△ADE∽△HCF，

∴．

考点：相似三角形的判定和性质.

考点分析： 考点1：图形的相似 形状相同，大小不同的两个图形相似 试题属性

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