Question

在一块如图所示的直角三角形余料ABC上裁减下一个矩形，AC=6cm，BC=8cm，CH是斜边上的高，矩形的一边DE在斜边上，另两个顶点F，G分别在边BC，AC上．
（1）求高CH的长；
（2）设GF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）设矩形DEFG的面积为S，试问S有最大值吗？若有，请你求出S的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AB的长，再利用△ABC的面积列出方程计算即可得解；
（2）根据△GFC和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比列式整理即可；
（3）根据矩形的面积列式用x表示出S，再利用二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵∠ACB=90°，CH是斜边上的高，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CH=

1

2

AC•BC，
即

1

2

×10•CH=

1

2

×6×8，
解得CH=4.8cm；

（2）∵矩形EFGD的对边FG∥DE，
∴△GFC∽△ABC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，
即

4.8-y

4.8

=

x

10

，
整理得，y=-0.48x+4.8；

（3）矩形DEFG的面积为S=x（-0.48x+4.8）=-0.48（x-5）²+12，
∵-0.48＜0，
∴当x=5时，S有最大值为12．

点评：本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，勾股定理以及三角形的面积，根据矩形的对边平行判断出△GFC和△ABC相似是解题的关键，（1）利用同一个三角形的面积的两种表示列方程求解是常用的方法，要熟练掌握．