Question

5．如图，抛物线C₁：y=x²+4x-3与x轴交于A、B两点，将C₁向右平移得到C₂，C₂与x轴交于B、C两点．
（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点D是抛物线C₂在x轴上方的图象上一点，求S_△ABD的最大值．
（3）直线l过点A，且垂直于x轴，直线l沿x轴正方向向右平移的过程中，交C₁于点E交C₂于点F，当线段EF=5时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先依据配方法求得抛物线C₁的顶点坐标，然后令y=0，求得点A、B的坐标，从而可判断出C₁平移的方向和距离，于是得到抛物线C₂的顶点坐标，从而得到C₂的解析式；
（2）根据函数图象可知，当点D为C₂的顶点时，△ABD的面积最大；
（3）设点E的坐标为（x，-x²+4x-3），则点F的坐标为（x，-x²+8x-15），然后可求得EF长度的解析式，最后根据EF=5，可列出关于x的方程，从而可求得x的值，于是的得到点E的坐标．

解答 解：（1）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（2，1）．
令y=0，得-（x-2）2+1=0，解得：x₁=1，x₂=3．
∵C₂经过B，
∴C₁向右平移了2个单位长度．
∵将抛物线向右平移两个单位时，抛物线C₂的顶点坐标为（4，1），
∴C₂的解析式为y₂=-（x-4）²+1，即y=-x²+8x-15．
（2）根据函数图象可知，当点D为C₂的顶点时，纵坐标最大，
即D（4，1）时，△ABD的面积最大．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•|y_D|=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
（3）设点E的坐标为（x，-x²+4x-3），则点F的坐标为（x，-x²+8x-15）．
EF=|（-x²+4x-3）-（-x²+8x-15）|=|-4x+12|．
∵EF=5，
∴-4x+12=5或-4x+12=-5．
解得：x=$\frac{7}{4}$或x=$\frac{17}{4}$．
∴点E的坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{15}{16}$）或（$\frac{17}{4}$，-$\frac{65}{16}$）时，EF=5．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求得二次函数的顶点坐标，抛物线的三种表达式，三角形的面积公式，列出EF的长与x的关系式是解题的关键．