Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论：
①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM²+BN²=MN²；④MN平分∠CND．
其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：几何图形问题

分析：根据等腰直角三角形的性质可以得出△AMD≌△CND就可以得出AM=CN，就可以得出CM=BN，根据勾股定理就可以得出结论．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=

1

2

AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，

∠A=∠DCN AD=CD ∠ADM=∠CDN

，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S_△AMD=S_△CND．
∴CM=BN．
∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S_△ADC．故为定值．
∵CM²+CN²=MN²，
∴BN²+AM²=MN²．
当MN∥AB时，MN平分∠CND．
∴正确的有：①②③．
故选A．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时熟练掌握等腰直角三角形的性质和证明三角形全等是关键．