题目内容
△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，BD的延长线交△ABC的外角∠ACM的平分线于E，直线CE与直线AB交于F．
（1）当∠BAC＞90°时，探究∠CDE与∠F的关系．
①如图1，当∠ABC=26°，则∠CDE= °，∠F= °；
②如图1，当∠ABC=38°，则∠CDE= °，∠F= °；
③由上述结果可以猜想当∠ABC的大小发生变化时，∠CDE与∠F之间的数量关系保持不变，这个数量关系用等式表示为 ．
（2）如图2，当∠BAC＜90°时，∠CDE与∠F之间又有怎样的数量关系呢？写出你的结论并证明．
（1）当∠BAC＞90°时，探究∠CDE与∠F的关系．
①如图1，当∠ABC=26°，则∠CDE=
②如图1，当∠ABC=38°，则∠CDE=
③由上述结果可以猜想当∠ABC的大小发生变化时，∠CDE与∠F之间的数量关系保持不变，这个数量关系用等式表示为
（2）如图2，当∠BAC＜90°时，∠CDE与∠F之间又有怎样的数量关系呢？写出你的结论并证明．
考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质
专题：
分析：（1）①先根据∠ABC=∠ACB，∠ABC=26°，在△BCD中由外角的性质可求得∠CDE的度数；由平角的定义求出∠ACM的度数，根据角平分线的性质求出∠ACF的度数，由三角形外角的性质即可得出∠F的度数；
②同理可求得结果；
③根据①可得到数量关系；
（2）可以利用同样的方法求出∠CDE，在求∠F时，应该是在△BCF中利用外角的性质，所以结论不同．
②同理可求得结果；
③根据①可得到数量关系；
（2）可以利用同样的方法求出∠CDE，在求∠F时，应该是在△BCF中利用外角的性质，所以结论不同．
解答：解：（1）①∵∠ABC=∠ACB，∠ABC=26°，BD平分∠ABC，
∴在△CDB中由三角形外角的性质可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=
∠ABC+∠ABC=
∠ABC=39°，
∵CF平分∠ACM，
在△BCF中由三角形外角的性质可得：
∠F=∠MCF-∠ABC=
∠MCA-∠ABC=
（180°-∠ACB）-∠ABC=
（180°-∠ABC）-∠ABC=90°-
∠ABC=90°-
×26°=51°；
故答案为：39；51；
②当∠ABC=38°时，∠CDE=
∠ABC=57°，∠F=90°-
∠ABC=90°-
×38°=33°；
故答案为：57；33；
③由∠CDE=
∠ABC，∠F=90°-
∠ABC，可得：∠CDE+∠F=90°，
故答案为：∠CDE+∠F=90°；
（2）∠CDE-∠F=90°，证明如下：
∵AB=AC，BD平分∠ABC，
∴在△BCD中，由三角形外角的性质可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=
∠ABC+∠ABC=
∠ABC，
∵CE平分∠MCA，
∴∠BCF=∠MCF=
∠MCA=
（180°-∠ACB）=
（180°-∠ABC），
在△BCF中，由三角形外角的性质可得：∠F=∠ABC-∠BCF=∠ABC-
（180°-∠ABC）=
∠ABC-90°，
∴∠F=∠CDE-90°，
∴∠CDE-∠F=90°．
∴在△CDB中由三角形外角的性质可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=
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∵CF平分∠ACM，
在△BCF中由三角形外角的性质可得：
∠F=∠MCF-∠ABC=
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故答案为：39；51；
②当∠ABC=38°时，∠CDE=
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故答案为：57；33；
③由∠CDE=
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故答案为：∠CDE+∠F=90°；
（2）∠CDE-∠F=90°，证明如下：
∵AB=AC，BD平分∠ABC，
∴在△BCD中，由三角形外角的性质可得：∠CDE=∠CBD+∠ACB=
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∵CE平分∠MCA，
∴∠BCF=∠MCF=
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在△BCF中，由三角形外角的性质可得：∠F=∠ABC-∠BCF=∠ABC-
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∴∠F=∠CDE-90°，
∴∠CDE-∠F=90°．
点评：本题主要考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和．
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