Question

【题目】如图，在直角边分别为和的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为，，，，，则________．

Answer 1

【答案】π

【解析】

图1，作辅助线构建正方形，设圆的半径为，根据切线长定理表示出和的长，利用列方程求出半径、是直角边，为斜边），运用圆面积公式求出面积；图2，先求斜边上的高的长，再由勾股定理求出和，利用半径、是直角边，为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和；图3，继续求高和、，利用半径、是直角边，为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和；据此规律进行求解即可.

图1，过点做，，垂足为、，则

四边形为矩形

矩形为正方形

设圆的半径为，则，，

，

图2，由

由勾股定理得：，

由（1）得：的半径，的半径

图3，由

由勾股定理得：，

由（1）得：的半径，的半径，的半径

图4中的

则

故答案为：．