Question

【题目】如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点停止运动，点也停止运动.连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点D，与轴交于点，连接，设点运动的时间为.

（1）求的度数及点的坐标（用表示）.

（2）当为何值时，为等腰三角形？

（3）探索周长是否随时间的变化而变化.若变化，说明理由；若不变，试求出这个定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）当为4秒或秒时，为等腰三角形（3）周长是定值，该定值为8

【解析】

（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．

（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．

（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．

（1）

如图①.由题可得，.

四边形是正方形，

，

.

，.

.

，，.

在和中，

.，.

，，.

，.点坐标为.

（2）①若，则..

，.

点与点重合.

点与点重合.与条件“轴”矛盾，

这种情况应舍去.

②若，则..

.

在和中，

≌.，..

点与点重合（）.点与点重合（）.

点，.此时.

③若，

在和中，

.

.，..

，.

延长到点，使得，连接，如图②所示.

在和中，

.，.

，，.

..

在和中，

.

..

.

，解得，

当为4秒或秒时，为等腰三角形.

（3），

.

周长是定值，该定值为8.